Question

要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m²)，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝xm，BC＝ym.

(1)求y关于x的表达式；
(2)如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？

Answer 1

（1）y＝－x （2）AB＝3m，BC＝4m

(1)如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

依题意：DH＝AB＝x，EH＝×x＝x，
∴＝xy＋ x＝xy＋x²，∴y＝－x.
∵x＞0，y＞0，∴－x＞0，解之得0＜x＜.
∴所求表达式为y＝－x .
(2)在Rt△DEH中，∵tan∠FED＝，∴sin∠FED＝，
∴DE＝＝x×＝x，
∴l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x＝－x＋6x＝＋x≥2＝26，
当且仅当＝x，即x＝3时取等号，
此时y＝－x＝4，
∴AB＝3m，BC＝4m时，能使整个框架所用材料最少．