Question

从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且其长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵MF₁⊥x轴，∴x_M=-c.

代入椭圆方程得y_M=,∴k_OM=-.

又∵k_AB=-且OM∥AB，

∴-.故b=c.∴a²=b²+c²=2c².

∴.

(2)设|QF₁|=r₁,|QF₂|=r₂,∠F₁QF₂=θ.

∵r₁+r₂=2a,|F₁F₂|=2c,

∵e=,∴c²=a².

∴cosθ=

=

=-1≥-1=0.

当且仅当r₁=r₂时，上式等号成立.

∴0≤cosθ≤1,θ∈［0,］,即∠F₁QF₂∈［0, ］.