Question

已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为。
（1）求的顶点、的坐标；
（2）若圆经过不同的三点、、，且斜率为的直线与圆相切于点，求圆的方程；
（3）问圆是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点．若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)  ,  ；(2)  ；
(3) 或。

试题分析：（1）边上的高所在直线的方程为，所以，，
又，所以         2分
设，则的中点，代入方程，
解得，所以.     4分
（2）由，可得，圆的弦的中垂线方程为，
注意到也是圆的弦，所以，圆心在直线上，
设圆心坐标为，
因为圆心在直线上，所以 ①，
又因为斜率为的直线与圆相切于点，所以，
即，整理得 ②，
由①②解得，，
所以，，半径，
所以所求圆方程为。        8分
（3）假设存在直线，不妨设所求直线方程为，
联立方程   得：        9分
又  得     10分
， ，      11分
依题意得         12分
故解得：      13分
经验证，满足题意。故所求直线方程为：或        14分
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识较多，综合性较强。知识点的灵活应用是解题的关键，是一道中档题。