Question

已知函数(≠0,∈R)
(Ⅰ)若，求函数的极值和单调区间；
(Ⅱ)若在区间（0，e］上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的极小值为1．
（II）．

试题分析：（I）应用导数研究函数的单调性及极值的基本题型，利用“表解法”清晰明了.
（II）解答本题的关键是，首先将问题转化成“若在区间（0，e］上至少存在一点，，使得成立，其充要条件是在区间（0，e］上的最小值小于0”．
应用分类讨论思想，就为正数、负数的不同情况加以讨论.
试题解析：（I）因为
当a=1，，
令，得，
又的定义域为，随的变化情况如下表：

	（0，1）	1
	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以时，的极小值为1．
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（II）因为，且
令，得到，
若在区间（0，e］上至少存在一点，，使得成立，
其充要条件是在区间（0，e］上的最小值小于0即可．
当＜0，
即时，对成立，
所以，在区间（0，e］上单调递减，
故在区间（0，e］上的最小值为，
由，得，即
当＞0，即时，
若，则对成立，
所以在区间上单调递减，
所以，在区间上的最小值为＞0，
显然，在区间上的最小值小于0不成立；
②若，即时，则有

	(0，)		(，e)
	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以在区间上的最小值为，
由＝a(1?lna)＜0，
得，解得，即．
综上，由（1）（2）可知：符合题意．