Question

4．sin θ和cos θ为方程2x²-mx+1=0的两根，求$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$．

Answer 1

分析 利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=$\frac{m}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{1}{2}$，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．

解答 解：∵sinθ和cosθ为方程2x²-mx+1=0的两根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{m}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1+2sinθcosθ，
∴$\frac{1}{4}$m²=1+2×$\frac{1}{2}$，解得：m=±2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{sinθ}{\frac{sinθ-cosθ}{sinθ}}$+$\frac{cosθ}{\frac{cosθ-sinθ}{cosθ}}$=sinθ+cosθ=$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的应用与正弦函数与余弦函数的性质，属于中档题．