Question

在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.

(1)证明AC⊥SB;

(2)求二面角N-CM-B的大小;

(3)求点B到平面CMN的距离.

Answer 1

解析：主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、空间向量的应用.?

方法一：(1)取AC中点D,连结SD、DB,∵SA=SC,AB=BC,?

∴AC⊥SD且AC⊥BD.?

∴AC⊥平面SDB.?

又SB?平面SDB,∴AC⊥SB.?

(2)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,?

∴平面SDB⊥平面ABC.?

过N作NE⊥BD于E,则NE⊥平面ABC;?

过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM.?

∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.?

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.?

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.?

∵SN=NB,∴NE=SD=?

=,且ED=EB.?

在正△ABC中,由平面几何知识可求得EF=MB=.?

在Rt△NEF中，tan∠NFE=,?

∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.?

(3)在Rt△NEF中,NF=,?

∴S_△CMN?=CM·NF=,?

S_△CMB?=BM·CM=2.?

设点B到平面CMN的距离为h,?

∵V_B—CMN?=V_N—CMB?,NE⊥平面CMB,?

∴S_△CMN?·h=S_△CMB?·NE.?

∴h=,?

即点B到平面CMN的距离为.?

方法二：(1)取AC中点O,连结OS、OB.?

∵SA=SC,AB=BC,?

∴AC⊥SO且AC⊥BO.?

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,?

∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥BO.?

如图建立空间直角坐标系O—xyz.?

则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).?

∴=(-4,0,0), =(0,2,-2).?

∵·=(-4,0,0)·(0,2,-2)=0,?

∴AC⊥SB.?

(2)由(1)得=(3, ,0), =(-1,0,),?

设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,?

则取z=1,则x=,y=?-.(下略).