题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，直线l过点A（a，0）和B（0，b），且原点到直线l的距离为
3
4
c（c为半焦距），则双曲线的离心率为______．
根据题意，得直线l的方程为bx-ay-ab=0，
∵c2=a2+b2
∴原点到直线l的距离为
-ab
c
=
3
4
c，
平方去分母得16a2b2=3c4，
∴16a2（c2-a2）=3c4，即16a2c2-16a4=3c4，
两边都除以a4，化简得3e4-16e2+16=0，
解之得 e=
2
3
3
或e=2．
∵0＜b＜a，∴e=2（e=
2
3
3
舍去）．
故答案为：2
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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