Question

18.在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；

(Ⅱ)设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD₁的距离.

Answer 1

18.本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象

能力和推理论证能力.

解法一：(Ⅰ)连结BP,

∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴∠APB是AP与面BB₁C₁C所成的角.

∵CC₁=4,CC₁=4PC,∴PC=1,

在Rt△CBP中,∠PCB为直角,BC=4,PC=1,故PB=.

在Rt△ABP中, ∠ABP为直角,tanAPB===.

∴∠APB=arctan.

即直线AP与平面BCC₁B₁所成的角为arctan.

解法二：∵AB⊥平面BCC₁B₁,

∴AP与平面BCC₁B₁所成的角就是∠APB.

如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D.

∵CC₁=4CP,CC₁=4,∴CP=1,A(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0).

∴=(4,－4,－1),=(4,0,－1).

∵·=16+0+1=17.

∴cosAPB===.

∴直线AP与平面BCC₁B₁所成的角为arccos.

(Ⅱ)解法一：连结A₁C₁、B₁D₁.

∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形,∴D₁O⊥A₁C₁.

又∵AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁,∴AA₁⊥D₁O.

∵AA₁∩A₁C₁=A₁,∴D₁O⊥平面A₁APC₁.

由于AP平面A₁APC₁,∴D₁O⊥AP.

∵平面D₁AP的斜线D₁O在这个平面内的射影是D₁H，

∴D₁H⊥AP.

解法二：连结D₁O,由(Ⅰ)有D₁(0,0,4),O(2,2,4),∴=(2,2,0).

·=8－8+0=0.∴⊥.

∵平面D₁AP的斜线D₁O在这个平面内的射影是D₁H,∴D₁H⊥AP.

(Ⅲ)解法一：连结BC₁,在平面BCC₁B₁中,过点P作PQ⊥BC₁于点Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁,PQ平面BCC₁B₁,∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁.

∴PQ就是点P到平面ABD₁的距离.

在Rt△C₁PQ中,∠C₁QP=90°,∠PC₁Q=45°,PC₁=3,

∴PQ=，即点P到平面ABD₁的距离为.

解法二：同解法一.