Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c的图像的顶点坐标是(，－)，且f(3)＝2

(Ⅰ)求y＝f(x)的表达式，并求出f(1)，f(2)的值；

(Ⅱ)数列{a_n}，{b_n}，若对任意的实数x都满足g(x)·f(x)＋a_nx＋b_n＝xⁿ⁺¹，n∈N^*，其中g(x)是定义在实数R上的一个函数，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(Ⅲ)设圆C_n：(x－a_n)²＋(y－b_n)²＝，若圆C_n与圆C_n+1外切，{r_n}是各项都是正数的等比数列，记S_n是前n个圆的面积之和，求．(n∈N^*)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由已知得f(x)＝a(x－)2－，a≠0，∴f(3)＝a(3－)2－＝2 　　∴a＝1　　∴f(x)＝x2－3x＋2，x∈R　　f(1)＝0，f(2)＝0 　　(Ⅱ)g(1)·f(1)＋an＋bn＝1n+1　　即an＋bn＝1　　① 　　g(2)·f(2)＋2an＋bn＝2n+1　　即2an＋bn＝2n+1　　② 　　由①②得an＝2n+1－1，bn＝2－2n+1， 　　(Ⅲ)|Cn+1Cn|＝＝·2n+1，设数列{rn}的公比为q，则rn＋rn+1＝rn(1＋q)＝|Cn+1Cn|＝·2n+1　　即rn(1＋q)＝·2n+1 　　∴rn+1(1＋q)＝·2n+2　　∴＝2　　∴rn＝·2n+1　　∴＝·4n 　　Sn＝π(＋＋＋…＋)＝·(41＋42＋…＋4n)＝·＝(4n－1) 　　∴＝＝＝