Question

解答题

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)＝x的两个实根为x₁和x₂．

(1)如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f(x)的对称轴为x＝x₀，求证：x₀＞－1；

(2)如果|x₁|＜2，|x₂－x₁|＝2，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1(a＞0)，由条件x1＜2＜x2＜4得即 　　∴－4a＜b＜－2a． 　　显然由－4a＜－2a得a＞，即有2－＞－＞1－． 　　故x0＝－＞1－＝－1． 　　(2)解：由g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0可知x1x2＝＞0． 　　∴x1，x2同号． 　　若0＜x1＜2，则x2－x1＝2(负根舍去)， 　　∴x2＝x1＋2＞2， 　　∴g(2)＜0， 　　即4a＋2b－1＜0　　① 　　∴(x2－x1)2＝－＝4． 　　∴2a＋1＝－(由a＞0，负根舍去)． 　　代入①式，得2＜3－2b，解得b＜． 　　若－2＜x1＜0，则x2＝－2＋x1＜－2(正根舍去)， 　　∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0　　② 　　将2a＋1＝代入②式得2＜2b－1， 　　解得b＞， 　　综上，当0＜x1＜2时，b＜； 　　当－2＜x1＜0时，b＞．