题目内容

已知 1≤log₂^x≤2
（1）求f（x）=x²+2x+3的最小值；
（2）求g（x）=log₂ $数学公式$ •log₂ $数学公式$ 的值域．

解：（1）∵1≤log₂^x≤2，∴2≤x≤4
∵f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2
∴函数在[2，4]上单调递增
∴f（x）=x²+2x+3的最小值为f（2）=11；
（2）g（x）=log₂ $\text{[math]}$ •log₂ $\text{[math]}$ =（log₂x-2）（log₂x-1）
设t=log₂x，则1≤t≤2，y=t²-3t+2=（t- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$
∵1≤t≤2，∴t= $\text{[math]}$ ，即x=2 $\text{[math]}$ 时，y_min=- $\text{[math]}$
t=1或t=2，即x=2或4时，y_max=0
∴g（x）=log₂ $\text{[math]}$ •log₂ $\text{[math]}$ 的值域为[ $\text{[math]}$ ，0]．
分析：（1）确定x的范围，利用配方法，确定函数的单调性，即可求f（x）=x²+2x+3的最小值；
（2）利用换元法，再进行配方，即可求得函数的值域．
点评：本题考查函数的最值，考查函数的值域，考查配方法的运用，属于中档题．