Question

已知 1≤log₂^x≤2
（1）求f（x）=x²+2x+3的最小值；
（2）求g（x）=log₂ 

x

4

•log₂ 

x

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）确定x的范围，利用配方法，确定函数的单调性，即可求f（x）=x²+2x+3的最小值；
（2）利用换元法，再进行配方，即可求得函数的值域．

解答：解：（1）∵1≤log₂^x≤2，∴2≤x≤4
∵f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2
∴函数在[2，4]上单调递增
∴f（x）=x²+2x+3的最小值为f（2）=11；
（2）g（x）=log₂ 

x

4

•log₂ 

x

2

=（log₂x-2）（log₂x-1）
设t=log₂x，则1≤t≤2，y=t²-3t+2=（t-

3

2

）²-

1

4

∵1≤t≤2，∴t=

3

2

，即x=2

2

时，y_min=-

1

4

t=1或t=2，即x=2或4时，y_max=0
∴g（x）=log₂ 

x

4

•log₂ 

x

2

的值域为[-

1

4

，0]．

点评：本题考查函数的最值，考查函数的值域，考查配方法的运用，属于中档题．