Question

2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，弦长|AB|=$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m²-16m-64=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化为直角坐标方程：y²=8x．
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t为参数），化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m²-16m-64=0，
∴m₁+m₂=$\frac{16}{3}$，m₁m₂=-$\frac{64}{3}$．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+4×\frac{64}{3}}$=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．