Question

11．已知P={f（x）|存在正实数M，使得对定义域中的一切x都有|f（x）|≤M成立}，h（x）=2x-$\sqrt{1-x}$，x∈[0，1]，g（x）=$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$，则（　　）

• A． g（x）∉P，h（x）∈P
• B． g（x）∈P，h（x）∈P
• C． g（x）⊆P，h（x）⊆P
• D． g（x）∈P，h（x）∉P

Answer 1

分析 根据条件判断函数的单调性求出h（x）和g（x）的值域，确定是否存在M使有|f（x）|≤M成立即可．

解答 解：∵h（x）=2x-$\sqrt{1-x}$，在x∈[0，1]上是增函数，
∴函数的最大值为h（1）=2，最小值为h（0）=-1，
则-1≤h（x）≤2，则有|f（x）|≤2恒成立，故当M≥2时，不等式有|f（x）|≤M恒成立，即h（x）∈P．
若g（x）=$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{x+2≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x≥-2}\end{array}\right.$，即x≥3，
当x=3时，g（3）=-$\sqrt{5}$，
函数的导数g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$-$\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$=$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x+2}•\sqrt{x-3}}$，
当x＞3时，$\sqrt{x+2}$＞$\sqrt{x-3}$，则g′（x）＞0，即函数g（x）在[3，+∞）上为增函数，
∵$\sqrt{x-3}$＜$\sqrt{x+2}$，∴$\sqrt{x-3}$-$\sqrt{x+2}$＜0，
∴当-$\sqrt{5}$≤g（x）＜0，则|g（x）|∈（0，$\sqrt{5}$]，
∴当M≥$\sqrt{5}$时，|g（x）|≤M恒成立，
即g（x）∈P，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件利用函数的性质或者求函数的导数研究函数的单调性，求出函数的值域是解决本题的关键．