Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁、F₂，若椭圆上存在一点Q，使∠F₁QF₂=120°，椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A．

  3

  2

  ≤e＜1
• B．

  3

  2

  ＜e＜1
• C．0＜e≤

  6

  3

• D．

  1

  2

  ＜e＜1

Answer 1

分析：依题意，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的上顶点为A，由∠F₁AO≥60°，即可求得它的离心率的取值范围．

解答：解：椭圆的焦点在x轴，设椭圆的上顶点为A，
∵椭圆上存在一点Q，∠F₁QF₂=120°，
∴∠F₁AO≥60°，
∴tan∠F₁AO=

c

b

≥

3

，
∴

b

c

≤

3

3

∴

b2

c2

=

a2-c2

c2

=

a2

c2

-1≤

1

3

，故

c2

a2

≥

3

4

，
∴e=

c

a

≥

3

2

，
又e＜1．
∴

3

2

≤e＜1．
故选：A

点评：本题考查椭圆的简单性质，求得∠F₁AO≥60°是关键，也是难点，考查分析与逻辑思维能力，属于中档题．