Question

【题目】关于函数，下列判断正确的是（ ）

A.是的极大值点

B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数，使得恒成立

D.对任意两个正实数，，且，若，则

Answer 1

【答案】BD

【解析】

利用导数为工具，对选项逐一分析，由此确定正确选项.

（1）的定义域为，，所以在上递减，在上递增，所以是的极小值点.故A选项错误.

（2）构造函数，，所以在上递减.而，，.所以有且只有一个零点.故B选项正确.

（3）构造函数.，由于，开口向下，和时，，即，时，故不存在正实数，使得恒成立，C选项错误.

（4）由（1）知，在上递减，在上递增， 是的极小值点.由于任意两个正实数，，且，，故.令，.由得，即，即，解得，则.所以.要证，即证，即证，由于，所以，故即证①.构造函数（先取），；，；.所以在上为增函数，所以，所以在上为增函数，所以.故当时，.即证得①成立，故D选项正确.

故选：BD.