Question

6．已知函数f（x）=$\frac{cx-1}{x+1}$（c为常数），且f（1）=0．
（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数；
（3）已知函数g（x）=f（e^x），判断函数g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=$\frac{c-1}{2}$=0，解得c=1；
（2）运用单调性定义证明；
（3）运用奇偶性定义证明．

解答 解：（1）因为f（1）=$\frac{c-1}{2}$=0，所以c=1，即c的值为1；
（2）f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，在[0，2]单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$）-（1-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$）
=2[$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$]=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，f（x）在[0，2]单调递增；
（3）g（x）=f（e^x）=$\frac{e^x-1}{e^x+1}$，定义域为R，
g（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-e^x}{1+e^x}$=-$\frac{e^x-1}{e^x+1}$=-g（x），
所以，g（x）为奇函数．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断和证明，函数奇偶性的判断和证明，用到了单调性和奇偶性的定义，以及作差比较法，属于中档题．