Question

17．求经过点M（1，2），且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1有相同离心率的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设出椭圆方程，代入点的坐标，即可得出椭圆方程．

解答 解：由题意，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=t（t＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴t=$\frac{1}{12}+\frac{4}{6}$=$\frac{3}{4}$，∴椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1，
当焦点在y轴上时，设方程为$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{6}$=m（m＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴m=$\frac{4}{12}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$，∴椭圆标准方程为$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1
故所求椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{9}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．