题目内容
19．已知双曲线的中心在原点，焦点为F1、F2在x轴上，虚轴长为2$\sqrt{2}$；一条渐近线方程为y=$\sqrt{2}$x，点M在双曲线上，且$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，则点M到x轴的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．分析 求出双曲线的方程，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，得MF1⊥MF2，可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．
解答 解：∵双曲线的中心在原点，焦点为F1、F2在x轴上，虚轴长为2$\sqrt{2}$；一条渐近线方程为y=$\sqrt{2}$x，
∴2b=2$\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，a=1
∴双曲线的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点为F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0）．
又∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上
故由x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1与x2+y2=3，得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点M到x轴的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
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| A． | （$\sqrt{2k}$，0），（-$\sqrt{2k}$，0） | B． | （0，$\sqrt{-2k}$），（0，$-\sqrt{2k}$） | C． | （$\sqrt{2|k|}$，0），（-$\sqrt{2|k|}$，0） | D． | 根据k的取值而定 |