Question

已知函数f（x）满足：4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R）且f(1)=

1

4

，则f（2014）=（　　）

• A．-

  1

  4

• B．

  1

  4

• C．-

  1

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由f(1)=

1

4

，令y=1代入题中等式得f（x）=f（x+1）+f（x-1），由此证出f（x+6）=f（x），可得函数f（x）是周期T=6的周期函数．令y=0代入题中等式解出f（0）=

1

2

，再令x=y=1代入解出f（2）=-

1

4

，同理得到f（4）=-

1

4

．从而算出f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=-

1

4

．

解答：解：∵f(1)=

1

4

，∴令y=1，得4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1）…①
用x+1替换x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x），…②
①+②得：f（x+2）=-f（x-1），再用x+1替换x，得f（x+3）=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），函数f（x）是周期T=6的周期函数．
因此，f（2014）=f（335×6+4）=f（4）．
∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
∴令y=0，得4f（x）f（0）=2f（x），可得f（0）=

1

2

．
在4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中令x=y=1，得4f²（1）=f（2）+f（0），
∴4×

1

16

=f（2）+

1

2

，解之得f（2）=-

1

4

同理在4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中令x=y=2，解得f（4）=-

1

4

．
∴f（2014）=f（4）=-

1

4

．
故选：A

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求特殊的函数值．着重考查了函数的定义、函数值的求法和赋值法研究抽象函数的等知识，属于中档题．