Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是2，D是BC上一点且A₁B∥平面AC₁D．

　　(1)求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；

 

　　(2)求二面角C-AC₁-D的大小；

 

　　(3)求点A₁到平面AC₁D的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结A1C交AC1于E则E是A1C的中点，连结DE 　　∵　A1B∥面ADC1，且面A1BC∩面ADC1=DE 　　∴　A1B∥DE 　　由E是A1C的中点知D是BC的中点 　　∴　AD⊥BC 　　又AD⊥BB1 　　∴　AD⊥面BCC1B1 　　∴　面ADC1⊥面BCC1B1 　　(2)解：作CH⊥C1D于H 　　则CH⊥面ADC1，连结HE 　　由AC=CC1知  CE⊥AC1 　　∴　由三垂线定理的逆定理知AC1⊥EH 　　∴　∠CEH是二面角C-AC1-D的平面角 　　∵　CH=，CE= 　　∴　sin∠CEH= 　　∴　∠CEH= 　　(3)解：∵　E为A1C的中点，A1E=CE 　　∴　点C到平面AC1D的距离CH，即为点A1到平面AC1D的距离． 　　由(2)可知CH= 　　∴　点A1到平面AC1D的距离为．