Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出函数导数，分析函数单调性即可求出函数极值；

（2）由题意原问题可转化为在时恒成立，构造函数，求导后分类讨论，利用导数确定函数单调性、最值，即可求解.

（1）时，，（）

所以，

令可得，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，的极大值为.

（2）当时，，

即在时恒成立，

化简得：在时恒成立，

令，

当，时，，显然不满足恒成立，所以，

，，

，

当时，

又在上单调递减，

，

在上单调递减，

故，

所以在上恒成立.

当时，

，

又在上单调递减，

存在唯一，使得

当时，，当时，，

所以函数在递增，在上递减，

又在处连续，，

在上恒成立，不符合题意，

综上.