Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1．过轴上一点 为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）经过定点

【解析】

（1）由题意可得，从而得到椭圆方程；

（2）对斜率分类讨论，斜率存在时直线的方程为，联立方程可得，可得，进而可得直线的方程为，求得，表示圆的方程，可得定点.

（1）由题意，得，解得，所以，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；

所以设的斜率为，则直线的方程为，

又准线方程为，

所以点的坐标为，

由得，，

即

所以，，

所以，

从而直线的方程为，（也可用点差法求解）

所以点的坐标为，

所以以为直径的圆的方程为，

即，

因为该式对恒成立，令，得，

所以以为直径的圆经过定点．