Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，利用特殊角的三角函数值，结合A的取值范围即可求出A的大小；
（Ⅱ）根据三角形的面积和余弦定理，得出关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，c=2，C=$\frac{π}{3}$，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$；
又0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\sqrt{3}$，
解得ab=4；①
由余弦定理得a²+b²-2abcosC=c²，
即a²+b²-ab=4；②
由①②组成方程组，解得a=b=2．

点评 本题考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式应用问题，是基础题目．