Question

17．（1）若f（x+1）=2x²+1，求f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）=$\frac{x}{ax+b}$，f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）换元法求解，
（2）利用方程得出f（x）=x得$\frac{x}{ax+b}$=x，根据有唯一解，可判断答案．

解答 解：（1）令t=x+1，则x=t-1，
∴f（t）=2（t-1）²+1=2t²-4t+3，
∴f（x）=2x²-4x+3．
（2）由f（2）=1得$\frac{2}{2a+b}$=1，即2a+b=2；
由f（x）=x得$\frac{x}{ax+b}$=x，变形得x（$\frac{1}{ax+b}$-1）=0，解此方程得x=0或x=$\frac{1-b}{a}$，
又∵方程有唯一解，
∴$\frac{1-b}{a}$=0，解得b=1，代入2a+b=2得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{2x}{x+2}$．

点评 本题考察了函数解析式的常见的求解方法，换元，方程思想的运用，属于简单题目．