题目内容
已知A，B是抛物线x2=4y上两个动点，且直线AO与直线BO的倾斜角之和为
，试证明直线AB过定点．
| π |
| 4 |
显然，直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+m，
代入x2=4y，得：x2-4kx-4m=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=
，
又tanα=
=
，tanβ=
=
，
所以，1=tan(α+β)=
=
=
=
．
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．
代入x2=4y，得：x2-4kx-4m=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则：
|
设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α，β，则α+β=
| π |
| 4 |
又tanα=
| y1 |
| x1 |
| x1 |
| 4 |
| y2 |
| x2 |
| x2 |
| 4 |
所以，1=tan(α+β)=
| tanα+tanβ |
| 1-tanαtanβ |
| 4(x1+x2) |
| 16-x1x2 |
| 16k |
| 16+4m |
| 4k |
| 4+m |
即m=4k-4，
直线AB的方程为y=kx+4k-4，即y+4=k（x+4），
所以，直线AB恒过定点（-4，-4）．
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