题目内容
已知A,B是抛物线x2=2py(p>0)上的两点,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线.
(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:|AF|=|CF|;
(2)若
•
+p2=0(A、B异于原点),直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点,求P点轨迹方程;
(3)若直线AB过抛物线的焦点,分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T,求证:
•
=0,并且点T在l上.
(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:|AF|=|CF|;
(2)若
OA |
OB |
(3)若直线AB过抛物线的焦点,分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T,求证:
AT |
BT |
分析:( 1)由题,可设A(x1,y1),求导得y′=
,由点斜式可得过A点的抛物线的切线为y-y1=
(x-x1),再令x=0解出它与Y轴交点的坐标,由抛物线的性质解出|AF|与|CF|的长度,比较即可证明出结论;
(2)可先设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).代入
•
+p2=0结合抛物线x2=2py(p>0)得出x1x2=-2p2.再表示出直线OB的方程:y=
x=
x
,直线m的方程:x=x1
,两者联立,解出P点的轨迹方程;
(3)可设T(x0,y0).由题意,求导可得出kAT=
,kBT=
.由于AB是焦点弦,可设AB的方程为y=kx+
,代入x2=2py(p>0)得:x2-2pkx-p2=0,由根与系数的关系得x1x2=-p2,于是kAT•kBT=-1,故AT⊥BT.由此得
•
=0,再由点T在直线AT,BT上,由同一性即可得点T在l上
x |
p |
x1 |
p |
(2)可先设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).代入
OA |
OB |
y2 |
x2 |
x2 |
2p |
|
|
(3)可设T(x0,y0).由题意,求导可得出kAT=
x1 |
p |
x2 |
p |
p |
2 |
AT |
BT |
解答:证明:( 1)设A(x1,y1),因y′=
,则过A点的抛物线的切线为y-y1=
(x-x1),
令x=0,得yc=y1-
=-y1,所以|CF|=
-(-y1)=
+y1,
由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线y=-
的距离,即|AF|=y1-(-
)=
+y1.所以|AF|=|CF|. …(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).
因为
•
+p2=0,所以x1x2+y1y2+p2=0,x1x2+
+p2=0,(
+p)2=0,即x1x2=-2p2.
直线OB的方程:y=
x=
x
,直线m的方程:x=x1
,
(1)×(2)得 xy=
x⇒xy+px=0,又x≠0,∴y=-p.即P点轨迹方程为y=-p.…(8分)
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),T(x0,y0).则kAT=
,kBT=
.
由于AB是焦点弦,可设AB的方程为y=kx+
,代入x2=2py(p>0)得:x2-2pkx-p2=0,
∴x1x2=-p2,于是kAT•kBT=-1,故AT⊥BT.
由(1)知,AT的方程:y=
x-y1,∴y0=
x0-y1,即x0x1-py1=py0,同理:x0x2-py2=py0.
∴AB的方程为x0x-py=py0,又∵AB过焦点,∴-
=py0,即y0=-
,故T点在准线l上.…(12分)
x |
p |
x1 |
p |
令x=0,得yc=y1-
| ||
p |
p |
2 |
p |
2 |
由定义知|AF|等于点A的抛物线的准线y=-
p |
2 |
p |
2 |
p |
2 |
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y).
因为
OA |
OB |
| ||||
4p2 |
x1
| ||
2p |
直线OB的方程:y=
y2 |
x2 |
x2 |
2p |
|
|
(1)×(2)得 xy=
x1x2 |
2p |
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),T(x0,y0).则kAT=
x1 |
p |
x2 |
p |
由于AB是焦点弦,可设AB的方程为y=kx+
p |
2 |
∴x1x2=-p2,于是kAT•kBT=-1,故AT⊥BT.
由(1)知,AT的方程:y=
x1 |
p |
x1 |
p |
∴AB的方程为x0x-py=py0,又∵AB过焦点,∴-
p2 |
2 |
p |
2 |
点评:本小题主要考查直线及圆锥曲线,考查方程的思想及解析几何的基本思想,考查运算能力和综合解题的能力.
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