Question

【题目】如图，在斜三棱柱中，AB=1，AC=2，，AB⊥AC，底面ABC.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）以A为原点，分别为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，再根据底面，得到，又，由线面垂直的判定定理得到平面，从而是平面的一个法向量，然后由求解.

（2）由（1）知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，然后由求解.

（1）以A为原点，分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

则，

∵底面，底面，

∴，

又∵，，

平面，平面，

∴平面，

∴是平面的一个法向量，

∴，

故所求直线与平面所成角的正弦值为

（2），，

设为平面的一个法向量，

则，

令，得，

得平面的一个法向量为，

又由（1）得是平面的一个法向量，

∴，

故所求面与平面所成锐二面角的余弦值为.