题目内容
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin
x(A>0, >0) x
[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3，2
)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定
MNP=120
（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
⑴
，
，5 ⑵将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解析:
本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，
解法一
（Ⅰ）依题意，有，
，又
，。
当 
是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=
，则0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°，
当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得
∠MNP=
即
故
从而
，即
当且仅当
时，折线段道MNP最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①
；②
；③点N在线段MP的垂直平分线上等
练习册系列答案
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如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4
)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°
；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．
的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分为折线段MNP．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．
）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．