题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
【答案】分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=-
与x=1时都取得极值，所以得到f′（-
）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
解答：解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由
解得，
f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-
）和（1，+∞），递减区间是（-
，1）．
（2）
，
当x=-
时，f（x）=
+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．
与x=1时都取得极值，所以得到f′（-）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
解答：解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由
解得，f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：
| x | （-∞，- ） | - | （- ，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | - | + | ||
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
）和（1，+∞），递减区间是（-，1）．（2）
，当x=-
时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|