Question

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是线段AE上的动点．
（1）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）所求二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF内的一条直线.为了找这条直线，需要作一个过AC而与平面DMF相交的平面.为此，连结CE，交DF于N，连结MN，这样只要AC∥MN即可.因为N为线段DF的中点，所以只需M是线段AE的中点即可.

（2）思路一、（综合法）首先作出它们的交线.过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，由线面平行的性质定理知AC∥l.为了求二面角，首先作出其平面角.作平面角第一步是过其中一个面内一点作另一个面的垂线，而要作垂线先作垂面.在本题中，由于平面平面，所以过点M作MG⊥AD于G，因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.（另外也可过点C作直线l的垂线）思路二、因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，所以可分别以，，的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．然后利用空间向量求解.
（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．
证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF． 4分
（2）方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，
过点M作MG⊥AD于G，
因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，
所以MG⊥平面ABCD，
过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，
故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角． 8分
设，则，，
，则， 11分
所以，即所求二面角的余弦值为． 12分

方法二、因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以，，的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．

设，则，，，，
设平面MDF的法向量，
则所以
令，得平面MDF的一个法向量， 8分
取平面ABCD的法向量， 9分
由， 11分
故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为． 12分