Question

已知实数abc≠0，则“线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解”是“a、b、c成等比数列”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：实数abc≠0，线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解⇒

a

b

=

b

c

⇒b²=ac⇒a、b、c成等比数列．实数abc≠0，a、b、c成等比数列⇒b²=ac⇒

a

b

=

b

c

线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解．所以，“线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解”是“a、b、c成等比数列”的充要条件．

解答：解：若实数abc≠0，线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解，
则

a

b

=

b

c

，
∴b²=ac，
∴a、b、c成等比数列．
若实数abc≠0，a、b、c成等比数列，
则b²=ac，
∴

a

b

=

b

c

，
∴线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解．
所以，“线性方程组

ax+by=0 bx+cy=0

有无穷多组解”是“a、b、c成等比数列”的充要条件．
故选C．

点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和线性方程级的解的情况的灵活运用．