Question

要使函数y=1+2^x+a•4^x在（x∈（-∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

（-，+∞）
分析：使用换元令t=2^x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at²进行求解．
解答：设t=2^x，因为x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
则原函数等价为y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以．
设，则，因为0＜t≤2，所以，
所以，所以a＞．
故答案为：（．，+∞）．
点评：本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．