题目内容

在△ABC中，已知cos（ $数学公式$ +A）= $数学公式$ ，则cos2A的值为 ________．

$\text{[math]}$
分析：把已知条件利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到关于cosA和sinA的式子，记作①，并根据cosA与sinA的大小，判断得到A的范围，求出2A的范围即可得到cos2A和sin2A的正负，然后将①平方，并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2A的值，然后利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos2A的值．
解答：cos（ $\text{[math]}$ +A）=cos $\text{[math]}$ cosA-sin $\text{[math]}$ sinA
= $\text{[math]}$ （cosA-sinA）= $\text{[math]}$ ，
∴cosA-sinA= $\text{[math]}$ ＞0．①
∴0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜2A＜ $\text{[math]}$ ，
①²得1-sin2A= $\text{[math]}$ ，∴sin2A= $\text{[math]}$ ．
∴cos2A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：此题考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角度的范围．