Question

如图，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer 1

(1)对于线面的平行的证明，关键是证明∥. （2）

试题分析：（1）证明：取的中点，连接、. 
∵为的中点，
∴∥，且.       1分
∵∥，且，∴∥，.        2分
∴四边形是平行四边形.  ∴∥.          3分
∵平面，平面，∴∥平面.       4分
（2）解：∵平面，平面， ∴.
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.
∵平面，平面，，∴平面.
∴为与平面所成的角.   
∵，在Rt△中，，
∴当最短时，的值最大，则最大.   
∴当时，最大. 此时，
.∴.
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.∴.           8分
以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，，，.
∴，，.设平面的法向量为，由，，令，则.
∴平面的一个法向量为.       10分
∵平面， ∴是平面的一个法向量.
∴.                     11分
∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.     12分
点评：主要是考查了二面角的平面角的求解，以及线面平行的判定，属于基础题。