Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论的极值点个数；

（2）若时，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）一个极值点；（2）.

【解析】

（1）求出，令，求出，利用导数判断的单调性，从而判断函数的单调性，从而由极点的定义即可求解.

（2）等式可化为恒成立，令，只需，利用导数求即可.

（1）

令

则，当，，当，

所以在递减在递增，所以

因为所以，恒成立，

则当时，时，

所以在递增，递减，所以是唯一极值点，

所以只有一个极值点

（2）因为，不等式可化为恒成立，

令，只需

因为，令，则

当，所以在递增，递减.

有.

所以在存在唯一零点，在存在唯一零点，

当时，，

当时，，

当时，，

当，

所以在和上为减函数在和上为增函数，

所以是与较小者，

，

因为，所以，

所以

综上，，所以.

所以，满足题意的的取值范围是.