Question

【题目】设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；

（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；

（1）由题设，的定义域为，

，令，解得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，

可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；

设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，

当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，

即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；