Question

1．已知f（x）=$\frac{3-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）计算f（3），f（4），f（$\frac{1}{3}$）及f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；
（3）求值：f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，代入可计算f（3），f（4），f（$\frac{1}{3}$）及f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）由（1）的结果猜想f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2，代入化简可得结论；
（3）由（2）得：f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）=f（1）+2014×2．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{3-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴f（3）=$\frac{-6}{10}$=-$\frac{3}{5}$，
f（4）=$\frac{-13}{17}$，
f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{26}{9}}{\frac{10}{9}}$=$\frac{13}{5}$，
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{\frac{47}{16}}{\frac{17}{16}}$=$\frac{47}{17}$；
（2）由（1）中f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=2，f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=2，
猜想f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2，证明如下：
∵f（x）=$\frac{3-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{3{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{3{x}^{2}-1}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2（1+{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$=2；
（3）由（2）得：f（1）+f（2）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）=f（1）+2014×2=1+4028=4029

点评 本题考查的知识点是函数的值，归纳推理，其中得到结论f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2，是解答的关键．