Question

如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：（x+1）²+y²=16上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且

.

MP

•

.

BN

=0
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题设，依据椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，依椭圆定义写出标准方程．
（2）求出两圆的圆心距以及两圆的半径，根据两圆的位置关系判断即得，两圆的位置关系有五种，应根据条件判断出应是那一种．

解答：解：（I）由点M是BN中点，又

MP

•

BN

=0，
可知PM垂直平分BN．所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
所以|PA|+|PB|=4．
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
如图焦点在x轴上，
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
可知动点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1   （6分）
（II）解：设点P（x₀，y₀），PB的中点为Q，，则Q（

x0 +1

2

，

y0

2

），
|PB|=

(x0-1)2+y02

=

x02-2x0+1+3- 3 4 x02

=

1 4 x02-2x0+4

=2-

1

2

x₀，
即以PB为直径的圆的圆心为Q（

x0 +1

2

，

y0

2

），，半径为1-

1

4

x₀，，
又圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r₂=2，
又|OQ|=

( x0+1 2 )2+ ( y0 2 )2

=

1 16 x02+  1 2 x0+1

=1+

1

4

x0
故|OQ|=r₂-r₁，即两圆内切．（13分）

点评：考查椭圆的定义法求椭圆的方程以及两圆的位置关系的判断．考查基础知识的题型．