Question

已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．

Answer 1

解：方法一：设圆的方程是(x－a)²＋(y－b)²＝10.因为圆心在直线y＝2x上，

所以b＝2a.　① 

解方程组得2x²－2(a＋b)x＋a²＋b²－10＝0，

所以x₁＋x₂＝a＋b，x₁·x₂＝.由弦长公式得·＝4，

化简得(a－b)²＝4.　②   解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4，

或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)²＋(y－4)²＝10，或(x＋2)²＋(y＋4)²＝10.

方法二：设圆的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝，圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝

由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d²＋()²＝r²，即＋8＝10，

所以(a－b)²＝4.又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4，或a＝－2，b＝－4.

故所求圆的方程是(x－2)²＋(y－4)²＝10，或(x＋2)²＋(y＋4)²＝10.