Question

19．已知数列{a_n+1-2a_n}（n∈N^*）是公比为2的等比数列，其中a₁=1，a₂=4．
（Ⅰ）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$} 是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过等比数列的通项公式可知a_n+1-2a_n=2ⁿ，两端同除2ⁿ⁺¹即得结论；
（2）通过（1）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}n$，从而${a_n}=n•{2^{n-1}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：由已知得${a_{n+1}}-2{a_n}=（{a_2}-2{a_1}）•{2^{n-1}}={2^n}$，…（2分）
两端同除2ⁿ⁺¹得：$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}$，
所以数列$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列；…（4分）
（2）解：由（1）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}n$，所以${a_n}=n•{2^{n-1}}$，…（6分）
从而${S_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+…+n•{2^{n-1}}$，
则2S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
错位相减得：$-{S_n}=1•{2^0}+{2^1}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$，
所以$-{S_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}-n•{2^n}$，…（10分）
即${S_n}=（n-1）{2^n}+1$．  …（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形及错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．