Question

已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）存在直线，且直线的方程为．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得的两个关系式即，解之即可得椭圆的方程；（2）先假设存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用点恰为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设直线的方程为，代入椭圆方程，求，，，，均用含的式子表示，再代入上面所求等式中，求，若能求出，则存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心，若求不出，则不存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．

试题解析：（1）由题意可得，解得，，故椭圆方程为． 　　

（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，

因为，，故．于是设直线的方程为，

由得．

由，得， 且,．

由题意应有，又，

故，得．

即．

整理得．

解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．

当时，所求直线存在，且直线的方程为．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．