题目内容
（本小题满分14分）已知直线
上有一个动点
，过点
作直线
垂直于
轴，动点
在
上，且满足
（
为坐标原点），记点
的轨迹为
．
（1）求曲线
的方程；
（2）若直线
是曲线
的一条切线，当点
到直线
的距离最短时，求直线
的方程．
（1）
；（2）
或
.
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、点到直线的距离公式、向量的数量积、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，设出P、Q点坐标，由题意知，
，利用两直线的斜率相乘为-1，得到曲线C的方程；第二问，设出直线
的方程，与曲线C的方程联立，由于直线
是曲线
的一条切线，所以
，解出
，再利用点到直线的距离公式求出点
到直线的距离d，利用均值定理求出d的最小值，并求出等号成立的条件，即k的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（1）设点
的坐标为
,则点
的坐标为
.
∵,
∴
. （或者用向量：
，且
得出）
当
时,得
,化简得
. 2分
当
时, 
、
、
三点共线，不符合题意，故.
∴曲线
的方程为
. 4分
（2）解法1:∵ 直线
与曲线
相切,
∴直线
的斜率存在.
设直线
的方程为
, 5分
由
得
.
∵ 直线
与曲线
相切, 则 
,即.
∴ 直线
的方程为
6分
∴ 点
到直线的距离
7分
8分
9分
. 10分
当且仅当
，即
时，等号成立.此时
. 12分
∴直线
的方程为或. 14分
解法2：由
，得
， 5分
∵直线
与曲线
相切, 设切点
的坐标为
，其中
，
则直线
的方程为：
，化简得
. 6分
点
到直线
的距离
7分
8分
9分
. 10分
当且仅当
，即
时，等号成立. 12分
∴直线
的方程为
或
. 14分
解法3：由
，得
， 5分
∵直线
与曲线
相切, 设切点
的坐标为
，其中
，
则直线
的方程为：
，化简得
. 6分
点
到直线
的距离
7分
8分
9分
. 10分
当且仅当
，即
时，等号成立,此时
. 12分
∴直线
的方程为
或
. 14分
考点：抛物线的标准方程、点到直线的距离公式、向量的数量积、均值定理.
的图象，可将函数
的图象向左平移
个单位长度，或向右平移
个单位长度（
，
均为正数），则
的最小值是（ ）
B．
C．
D．
（i是虚数单位），则z的虚部为_______．
的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 
的最小值为______．
内接于圆
，点
在
的延长线上，
切圆
，若
,
,则
满足约束条件
,则
的最大值为（ ）
B．
C．
D．
，使不等式
恒成立，则实数
的取值范围是__________．
______． 
