Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点F₁，F₂与短轴两端点B₁，B₂构成∠B₂F₁B₁为120°，面积为2

3

的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知∠B₂F₁B₁为=120°，及菱形F₁B₁F₂B₂的面积可得

bc= 3 b c = 3

，从而可求b，c，再由a=

b2+c2

可求，可求椭圆方程
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

整理，结合方程的根与系数的关系可得，x₁+x₂=

-8mk

3+4k2

，x₁•x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，而以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A可得

AM

•

AN

=0即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可得m，k之间的关系，代入直线方程可知直线所过的定点

解答：解：（Ⅰ）∵∠B₂F₁B₁为=120°
∴∠B₁F₁O=60°
tan60°=

b

c

=

3

∵菱形F₁B₁F₂B₂的面积S =2×

1

2

×2c×b=2

3

bc=

3

即 

bc= 3 b c = 3

  
∴

b= 3 c=1

，
由a=

b2+c2

=2
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

 得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
则x₁+x₂=

-8mk

3+4k2

，x₁•x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，
且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0
∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A
∴AM⊥AN即

AM

•

AN

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
又y₁y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
化简得，7m²+4k²+16mk=0
解得m=-2k或m=-

2k

7

且均满足3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，L：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-

2k

7

时，L；y=k（x-

2

7

），直线过定点(

2

7

，0)
综上，直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，利用直线的点斜式求解直线所过的定点，属于直线与曲线的综合性试题