Question

三棱锥的三个侧面两两互相垂直, 而它们的面积分别是a2, b2, c2, 它的体积_________abc.

Answer 1

答案：1/3
解析：

解: 如图, 在三棱锥C-ABD中, 平面ADC⊥平面ABC, 平面BDC⊥平面ABC, 平面ADC⊥平面BDC. 设: S△ABC＝a2,S△DCB＝b2,S△ADC＝c2 AC＝x, BC＝y, CD＝z. ∵平面ADC⊥平面ABC, 平面BDC⊥平面ABC, 又平面ADC∩平面BDC＝DC, ∴DC⊥平面ABC,  即 DC⊥AC, DC⊥BC. 于是S△ABC＝xy＝a2           ① S△DCB＝yz＝b2           ② S△ACD＝xz＝C2           ③ ①×②×③,得x2y2z2＝a2b2c2, ∴xyz＝2abc 则V三棱锥＝abc.

提示：

1.可设它们互相垂直的三个棱长分别为x、y、z 2.通过求三个两两垂直平面的面积公式找到xyz与abc之间的关系. 3.再把体积公式中的xyz用abc代换.