Question

【题目】若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足： 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数, ,有下列命题：

①在内单调递增；

②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；

③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；

④和之间存在唯一的“隔离直线”.

其中真命题的个数有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】①， ，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对一切实数成立，即有，又对一切成立，则，即，即有且，同理可得，故②正确，③错误，④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令 ， ，当时， ；当时， ；当时， ；当时， 取到极小值，极小值是，也是最小值， ，则， 函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.