Question

【题目】若函数对任意的均有则称函数具有性质

（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质并说明理由.

①②

（Ⅱ）若函数具有性质,且

求证:对任意有

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,是否对任意均有若成立,给出证明;若不成立,给出反例.

Answer 1

【答案】（1）具有,不具有（2）见解析（3）不成立

【解析】试题分析：（1）肯定结论需证明：根据定义比较大小，作差，提取因子，再利用基本不等式可得结论；对于否定结论，只需举一个反例即可，（2）利用反证法证明，由于条件满足差值单调递增，利用累加可得矛盾，（3）构造一个反例说明不成立，一般举分段函数，分有理数与无理数进行列式.

试题解析：解:（Ⅰ）①函数具有性质

因为即

此函数为具有性质

②函数不具有性质

例如,当时,

所以此函数不具有性质

（Ⅱ）假设为中第一个大于的值,则

因为函数具有性质所以对于任意的均有

所以

所以

与矛盾,

所以,对任意的有

（Ⅲ）不成立.

例如.

证明:当为有理数时, 均为有理数,

当为无理数时, 均为无理数,

所以,函数对任意的,均有

即函数具有性质

而当且当为无理数时,

所以,在（Ⅱ）的条件下,“对任意的均有”不成立.