Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（）求证： .

（）若，且平面平面，

求①二面角的锐二面角的余弦值.

②在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角等于，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①；②答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可证得平面，然后利用线面平行的性质定理可得，

(2)①建立空间直角坐标系，由题意可得平面的一个法向量为；

而为平面的一个法向量.据此计算有二面角的锐二面角的余弦值为.

②假设上存在点满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数的方程，解方程可得，则线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.

试题解析：

（）证明：∵， 平面， 平面，

∴平面，

又∵平面，且平面平面，

∴，

（）①取的中点，连接， ， ，

∵是菱形，且， ，

∴， 是等边三角形，

∴， ，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

以为原点，以， ， 为坐标轴建立空间坐标系，则：

， ， ， ， ， ， .

， ，

设平面的法向量为，则：

，∴，

令得： ；

∵平面，

∴为平面的一个法向量.

∴.

故二面角的锐二面角的余弦值为.

②假设上存在点使得直线与平面所成角等于，

则与所成夹角为，

设，则：

，

，

化简得： ，

解得： 或（舍），

∴线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.