Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的表面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）证明：连结，可得为的中位线，可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可证平面，从而可得，又，，即可证明平面；（3），分别利用三角形面积公式求出各三角形面积，求和即可得结果.

试题解析：（1）证明：连结，

∵直三棱柱，，

∴四边形为正方形，

∴为中点，

∵为中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）证明：方法1，∵直三棱柱，

∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

方法2：∵直三棱柱，

∴平面平面，

∵平面平面，，

∵平面，

∵平面，

∴，

∵正方形，

∴，

又∵，

∴平面．

（3）

．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.