Question

（2012•浦东新区三模）已知函数f(x)=x2+(b-

4-a2

)x+2a-b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是

4

．

Answer 1

分析：根据二次函数是偶函数的等价条件，即一次项的系数为零，求出a与b的关系式，令x=0求出图象与y轴交点的纵坐标，再整理成关于a的一个函数，由解析式求出定义域，根据它的单调性求出最大值．

解答：解：∵f(x)=x2+(b-

4-a2

)x+2a-b是偶函数，
∴b-

4-a2

=0，则b=

4-a2

，
令x=0代入函数解析式，解得y=2a-b，
∴函数图象与y轴交点的纵坐标y=2a-b=2a-

4-a2

，
由4-a²≥0解得，-2≤a≤2，
∵y=2a-

4-a2

在[0，2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，
∴当a=2时，y有最大值为4．
故答案为：4．

点评：本题是有关函数性质的综合题，考查了二次函数是偶函数的等价条件，复合函数的单调性问题，以及求函数的最值，难度较大．